jueves, 19 de mayo de 2011

EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES



        El idioma del álgebra es la ecuación.
        Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»
        También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. He aquí alguno de ellos:
EL COMERCIANTE. Escribimos el enunciado directamente en la tabla:
.
EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Un comerciante tenía una determinada suma de dinero
x
El primer año se gastó 100 libras
x - 100
Aumentó el resto con un tercio de éste 
(x-100) + (x-100)/3 = (4x-400)/3
Al año siguiente volvió a gastar 100 libras 
(4x-400)/3 - 100 = (4x-700)/3
y aumentó la suma restante en un tercio de ella 
(4x-700)/3 + (4x-700)/9 = (16x-2800)/9
El tercer año gastó de nuevo 100 libras 
(16x-2800)/9 - 100 = (16x-3700)/9
Después de que hubo agregado su tercera parte 
(16x-3700)/9 + (16x-3700)/27 = (64x-14800)/27
El capital llegó al doble del inicial 
(64x-14800)/27 = 2x
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación:  64x - 14800 = 54x,   10x = 14800,    x=1480.
    La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil.
      Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir «la lengua vernácula a la algebraica». Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como se verá.
       Los problemas que aparecerán a continuación serán más o menos originales, por su enunciado, por el procedimiento de resolución, por la solución, etc. etc.
       No siempre se darán las soluciones de forma algebraica.


1.    LA VIDA DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:

EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida,
x
cuya sexta parte constituyó su infancia. 
x/6
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla. 
x/12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
x/7
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, 
5
que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra.
x/2
Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. 
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4


2.    EL CABALLO Y EL MULO. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía». ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?

EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Si yo te tomara un saco
x - 1
mi carga
y + 1
sería el doble que la tuya.
y + 1 = 2 (x - 1)
Y si te doy un saco, 
y - 1
tu carga
x + 1
se igualaría a la mía
y - 1 = x + 1


3.    LOS CUATRO HERMANOS. Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

EN LA LENGUA VERNÁCULA
EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Los cuatro hermanos tienen 45 duros.
x + y + z + t = 45
Si al dinero del primero se le agregan 2 duros
 x + 2
al del segundo se restan 2 duros
y - 2
el del tercero se duplica
2z
y el del cuarto se divide por, dos, 
t/2
a todos les quedará la misma cantidad de duros.
x+2 = y-2 = 2z = t/2

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